2012年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練：統(tǒng)計

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縱觀近幾年來各地中考，試題最明顯的變化趨勢是試題內(nèi)容更加關(guān)注生活、關(guān)注社會熱點、關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成與發(fā)展。
試題重點放在了考查學(xué)生是否理解各種統(tǒng)計圖表的特征和統(tǒng)計量的意義，能否選擇適當?shù)慕y(tǒng)計圖表和統(tǒng)計量來表達數(shù)據(jù)，加強了統(tǒng)計的應(yīng)用意識。注重知識與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，能進行簡單的數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程，并根據(jù)數(shù)據(jù)做出簡單的判斷與預(yù)測；嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法解決一些簡單的實際問題。
對于統(tǒng)計基本概念的考查一般以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，要能夠指出研究對象的總體、個體、樣本及樣本容量，理解一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的意義，掌握他們的求法，了解方差、標準差的意義，會計算樣本方差和標準差，并會用他們比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況。
統(tǒng)計初步知識與方程、不等式有機融合在一起的分數(shù)較多的綜合性試題近幾年來不斷出現(xiàn)，使得統(tǒng)計初步的知識在中考試卷中所占分值有所提高。統(tǒng)計初步的應(yīng)用題主要考查學(xué)生聯(lián)系實際處理數(shù)據(jù)進行合理推理的能力，要求學(xué)生具備數(shù)據(jù)處理的能力，數(shù)形結(jié)合的能力，讀圖識圖的能力。
考查目標一、考查了對眾數(shù)與中位數(shù)的理解
例:（2009年紹興）市根據(jù)某市去年7月份中某21天的各天最高氣溫（℃）記錄，制作了如圖的統(tǒng)計圖，由圖中信息可知，記錄的這些最高氣溫的眾數(shù)是     ℃，其中最高氣溫的中位數(shù)是       ℃，

解題思路：本題重點考查了學(xué)生對眾數(shù)與中位數(shù)的理解，以及從統(tǒng)計圖中獲取信息的能力。要想解決本題中提出的問題，首先要弄明白以下幾個問題：（1）怎樣尋找這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)？由于32℃出現(xiàn)的次數(shù)最多出現(xiàn)了4天，所以32℃是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。（2）怎樣尋找這組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)？因為共調(diào)查了21天的氣溫記錄，因此中位數(shù)是將氣溫從小到大排列后位于第11位的氣溫，由于29℃的氣溫有3天，30℃的氣溫有2天，31℃的氣溫有2天，32℃的氣溫有4天，33℃的氣溫有3天，34℃的氣溫有2天，35℃的氣溫有2天，36℃的氣溫有3天，而前四個數(shù)據(jù)的頻數(shù)和為11，所以氣溫的中位數(shù)就為32℃。
解答： 32，32
考查目標二、考查平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的理解與應(yīng)用
例(2009年義烏)某風景區(qū)對5個旅游景點的門票價格進行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計，調(diào)價前后各景點的游客人數(shù)基本不變。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
景點 A B C D E
原價（元） 10 10 15 20 25
現(xiàn)價（元） 5 5 15 25 30
平均日人數(shù)（千人） 1 1 2 3 2
（1）該風景區(qū)稱調(diào)整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平。問風景區(qū)是怎樣計算的？
（2）另一方面，游客認為調(diào)整收費后風景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價前，實際上增加了約9.4%。問游客是怎樣計算的？
（3）你認為風景區(qū)和游客哪一個的說法較能反應(yīng)整體實際？
解題思路：
(1)本題重點考查了平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的理解與應(yīng)用，以及對數(shù)據(jù)的處理能力。要想解決本題中提出的問題，首先要弄明白以下幾個問題：（1）為什么風景區(qū)和游客都將調(diào)價前后的門票平均數(shù)作了比較，而他們的說辭卻不一樣呢？因為我們學(xué)習(xí)了兩種平均數(shù)，一種是算術(shù)平均數(shù)一種是加權(quán)平均數(shù)。因此當我們分別以這兩種方式來計算平均數(shù)時，我們會發(fā)現(xiàn)調(diào)價前后的算術(shù)平均數(shù)是不變的，而加權(quán)平均數(shù)是有所變化的。因此，我們可以知道風景區(qū)是按照算術(shù)平均數(shù)來計算平均價格的，而游客是按照加權(quán)平均數(shù)來計算價格的。（2）哪種平均數(shù)能更好地反映實際呢？由于加權(quán)平均數(shù)對不同的景點賦予了不同的權(quán)，而不同景點的游客數(shù)是不同的，所以加權(quán)平均數(shù)更能反映整體實際。
解答：（1）風景區(qū)是這樣計算的：調(diào)整前的平均價格：  調(diào)整后的平均價格：  ∵調(diào)整前后的平均價格不變，平均日人數(shù)不變 ∴平均日總收入持平
(2)游客是這樣計算的： 原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）  現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）   ∴平均日總收入增加了：     
（3）游客的說法較能反映整體實際。
考查目標三、考查頻數(shù)分布直方圖以及計算
例（2009大興安嶺）開學(xué)初，某店主調(diào)查了學(xué)校新生的零用錢數(shù)額（單位：元）。按總?cè)藬?shù)的12.5%抽樣。數(shù)據(jù)分成五組統(tǒng)計，因意外原因丟失一些信息，剩余部分信息為：①第一組的頻數(shù)、頻率分別為2、0.04；②第二、三、五組的頻率分別為0.24、0.20、0.36；③如圖頻率分布直方圖。請你協(xié)助店主解決下列問題：
頻數(shù)
0  1   2  3   4  5      數(shù)額（元）
（每組含最小數(shù)，不含最大數(shù)）
1 求第四組的頻率、頻數(shù)；
2 估計全體新生的零用錢大約是多少元？
解題思路：
本題重點考查了統(tǒng)計基礎(chǔ)知識——頻數(shù)分布直方圖以及計算、解決實際問題和信息處理能力，本題還考查了利用樣本估算總體的思想。要想解決本題中提出的問題，首先要弄明白以下幾個問題：（1）第四組的頻率與頻數(shù)有什么關(guān)系？由于第一、二、三、五組的頻率分別為0.04、0.24、0.20、0.36，而樣本總的頻率為1，所以第四組頻率為 0.16 。又因為頻率=頻數(shù)/樣本容量，所以我們需要先根據(jù)第一組的頻數(shù)與頻率求出樣本容量為2/0.24=50，因此第四組的頻數(shù)為0.16×50=8：(2)怎樣根據(jù)樣本估計全體新生的零用錢？因為0～1元，1～2元，2～3元，3～4元，4～5元的頻數(shù)分別為2，12，10，8，18，所以估計學(xué)生零用錢的最小值為：（2×0+12×1+10×2+8×3+18×4）/12.5%=1024（元）；最大值為：（2×1+12×2+10×3+8×4+18×5）/12.5%=1424（元）
解答：（1）1-（0.04+0.24+0.20+0.36）=0.16為第四組頻率，
∵樣本容量n=頻數(shù)/頻率=2/0.24=50，∴50×0.16=8為第四組頻數(shù)。
（2）∵估計學(xué)生零用錢的最小值為：（2×0+12×1+10×2+8×3+18×4）/12.5%=1024（元）；最大值為：（2×1+12×2+10×3+8×4+18×5）/12.5%=1424（元）∴估計數(shù)（M）只要符合1024≤M<1424的范圍，均屬正確；
考查目標四、考查極差與方差知識的理解與應(yīng)用能力
例:在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺階.圖11是其中的甲、乙路段臺階的示意圖.請你用所學(xué)過的有關(guān)統(tǒng)計知識（平均數(shù)、中位數(shù)、方差和極差）回答下列問題：

（1）兩段臺階路有哪些相同點和不同點？
（2）哪段臺階路走起來更舒服？為什么？
（3）為方便游客行走，需要重新整修上山的小路.對于這兩段臺階路，在臺階數(shù)不變的情況下，請你提出合理的整修建議.
解題思路：
(1)本題重點考查了平均數(shù)、極差與方差的有關(guān)知識的理解與應(yīng)用能力。要想解決本題中提出的問題，首先要弄明白以下幾個問題：（1）從那些角度去考慮兩段臺階路的相同點和不同點？由于，給出了兩段臺階路中每層臺階的不同高度，而“平均數(shù)”是最為常用的一個評判指標，所以我們可以先來考慮這兩段臺階平均數(shù)的不同，當“平均數(shù)”還難以刻畫這兩組數(shù)據(jù)時，我們就可以通過方差來考慮這兩段臺階的“波動情況”（2）怎樣判斷哪段臺階路走起來更舒服呢？要想判斷哪段臺階路走起來更舒服，實際上就是考查數(shù)據(jù)的波動程度，因此我們需要在考查平均數(shù)的基礎(chǔ)上，再來考慮方差對數(shù)據(jù)的影響，方差越大說明數(shù)據(jù)波動越大，越不舒服，方差越小越舒服。
解答：
      （1）因為
∴相同點：甲臺階與乙臺階的各階高度參差不齊，但兩段臺階路高度的平均數(shù)相同.
不同點：：兩段臺階路高度的中位數(shù)、方差和極差均不相同.但甲臺階各階高度的極差比乙臺階��；
(2)甲路段走起來更舒服一些，因為它的臺階高度的方差小.
(3)使臺階的各階高度的方差越小越好每個臺階高度均為15cm（原平均數(shù)），使得方差為0.  

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