2012年中考數學基礎知識要點總結

實數

  ⑴ 數軸的三要素為      、       和        . 數軸上的點與     構成一一對應.

  ⑵ 實數 的相反數為________. 若 ， 互為相反數，則 =     .

  ⑶ 非零實數的倒數為______. 若 ， 互為倒數，則 =        .

  ⑷ 絕對值 ．

  ⑸ 科學記數法：把一個數表示成        的形式，其中1≤＜10的數，n是整數.

⑹ 一般地，一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位.這時，從左邊第一個不是    的數起，到           止，所有的數字都叫做這個數的有效數字．

練習：（略）

 

數的開方

⑴ 任何正數 都有______個平方根,它們互為________.其中正的平方根 叫_______________.        沒有平方根，0的算術平方根為______.

⑵ 任何一個實數都有立方根，記為          .

⑶  。

3. 實數的分類:           和              統稱實數.

4．      （其中    0 且 是         ）        （其中    0）

練習：（略）

 

整式

（1）單項式：由數與字母的        組成的代數式叫做單項式（單獨一個數或         也是單項式）.單項式中的          叫做這個單項式的系數；單項式中的所有字母的             叫做這個單項式的次數.

(2) 多項式：幾個單項式的       叫做多項式.在多項式中，每個單項式叫                 做多項式的       ,其中次數最高的項的         叫做這個多項式的次數.不含字母的項叫做          .

(3) 整式：             與           統稱整式.

4. 同類項：在一個多項式中，所含       相同并且相同字母的       也分別相等的項叫做同類項. 合并同類項的法則是                          ___.

5. 冪的運算性質: a^m·aⁿ=     ； (a^m)ⁿ=     ； a^m÷aⁿ＝_____； (ab)ⁿ=     .

練習：（略）

 

因式分解

1. 因式分解：就是把一個多項式化為幾個整式的     的形式．分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止．

2. 因式分解的方法：⑴              ，⑵               ， ⑶              .

3. 提公因式法： __________   _________.

4. 公式法: ⑴               

 ⑵        ，

           ⑶                 .

5. 十字相乘法：                    ．

6．因式分解的一般步驟:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．

7．易錯知識辨析

（1）注意因式分解與整式乘法的區別；

（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不僅表示一個數，還可以表示單項式、多項式.

練習：

1．簡便計算： .

2．分解因式： ____________________.

3．分解因式： ____________________.

4．分解因式： ____________________.

5.分解因式            ．

6．將 分解因式的結果是        ．

 

 

分式

1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有      ，那么稱 為分式．若       ，則 有意義；若      ，則 無意義；若      ，則 ＝0.

2．分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的               ．用式子表示為                        .

3. 約分：把一個分式的分子和分母的    約去，這種變形稱為分式的約分．

4．通分：根據分式的基本性質，把異分母的分式化為          的分式，這一過程稱為分式的通分.

例1：（1） 當x            時，分式 無意義；

     （2）當x           時，分式 的值為零.

例2：⑴  已知 ，則  ＝          .

      ⑵已知 ，則代數式的值為       .

例3：先化簡，再求值：

(1)（ － ）÷ ，其中x＝1．

   ⑵ ，其中 .

練習：（略）

 

二次根式

1．二次根式的有關概念

⑴式子   叫做二次根式．注意被開方數只能是       ．并且根式.

⑵簡二次根式：被開方數所含因數是     ，因式是     ，不含能            的二次根式，叫做最簡二次根式．

(3)同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數           的幾個二次根式，叫做同類二次根式．

2．二次根式的性質：

⑴          0；

⑵         （ ≥0）；            ；

⑶            （）；  

⑷             （）.

練習：（略）

 

 

方程（組）和不等式

（1）判斷一個方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化簡后滿足只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，系數不等于0的方程，像， 等不是一元一次方程.

（2）解方程的基本思想就是應用等式的基本性質進行轉化，要注意：①方程兩邊不能乘以（或除以）含有未知數的整式，否則所得方程與原方程不同解；②去分母時，不要漏乘沒有分母的項；③解方程時一定要注意“移項”要變號.

例1：當 取什么整數時，關于 的方程 的解是正整數？

例2：解下列方程：

；            （2） .

例3：解下列方程組：

（1）                  （2）

例4：某廠工人小王某月工作的部分信息如下：

信息一：工作時間：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25天；

信息二：生產甲、乙兩種產品，并且按規定每月生產甲產品的件數不少于60件．

生產產品件數與所用時間之間的關系見下表：

生產甲產品件數（件）	生產乙產品件數（件）	所用總時間（分）
10	10	350
30	20	850

信息三：按件計酬，每生產一件甲產品可得1.50元，每生產一件乙產品可得2.80元．根據以上信息，回答下列問題：

（1）小王每生產一件甲種產品，每生產一件乙種產品分別需要多少分？

（2）小王該月最多能得多少元？此時生產甲、乙兩種產品分別多少件？

例5：某同學在A、B兩家超市發現他看中的隨身聽的單價相同，書包單價也相同，隨身聽和書包單價之和是452元，且隨身聽的單價比書包單價的4倍少8元.

① 求該同學看中的隨身聽和書包單價各是多少元？

② 某一天該同學上街，恰好趕上商家促銷，超市A所有商品打八折銷售，超市B全場購物滿100元返購物券30元銷售（不足100元不返券，購物券全場通用），但他只帶了400元錢，如果他只在一家超市購買看中的這兩樣物品，你能說明他可以選擇哪一家購買嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購買更省錢？

 

 

一元二次方程的常用解法

（1）直接開平方法：形如 或的一元二次方程，就可用直接開平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步驟是：①化二次項系數為1，即方程兩邊同時除以二次項系數；②移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項，③配方，即方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，④化原方程為的形式，⑤如果是非負數，即 ，就可以用直接開平方求出方程的解.如果n＜0，則原方程無解.

（3）公式法：一元二次方程的求根公式是

.

（4）因式分解法：因式分解法的一般步驟是：①將方程的右邊化為       ；②將方程的左邊化成兩個一次因式的乘積；③令每個因式都等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.

例1：選用合適的方法解下列方程：

（1） ；             

（2） ；

（3） ；             

（4） .

例2：已知一元二次方程 有一個根為零，求 的值.

練習：（略）

 

 

一元二次方程根的判別式

關于x的一元二次方程的根的判別式為           .

（1） >0一元二次方程 有兩個      實數根，即               .

（2） =0一元二次方程有      相等的實數根，即        .

（3） <0一元二次方程        實數根.

例1：解方程會出現的增根是（     ）

A．        B.       C.或   D.

例2：如果分式與 的值相等,則 的值是(     )

A．9          　B． 7          C．5               D．3

例3：如果，則下列各式不成立的是（     ）

A．    B．   C．         D．

例4：若分式的值為0，則x的值為（   ）

A. 1            B. -1        C. ±1            D.2

例5：在2008年春運期間，我國南方出現大范圍冰雪災害，導致某地電路斷電.該地供電局組織電工進行搶修.供電局距離搶修工地15千米.搶修車裝載著所需材料先從供電局出發，15分鐘后，電工乘吉昔車從同一地點出發，結果他們同時到達搶修工地．已知吉普車速度是搶修車速度的1.5倍，求這兩種車的速度.

例6：某中學庫存960套舊桌凳，修理后捐助貧困山區學校．現有甲、乙兩個木工小組都想承攬這項業務．經協商后得知：甲小組單獨修理這批桌凳比乙小組多用20天；乙小組每天比甲小組多修8套；學校每天需付甲小組修理費80元，付乙小組120元．

（1）求甲、乙兩個木工小組每天各修桌凳多少套．

（2）在修理桌凳過程中，學校要委派一名維修工進行質量監督，并由學校負擔他每天10元的生活補助．現有以下三種修理方案供選擇：

 ① 由甲單獨修理；② 由乙單獨修理；③ 由甲、乙共同合作修理．

你認為哪種方案既省時又省錢？試比較說明．

練習：

1．若關于 方程 無解，則的值是           ．

2.分式方程的解是          ．

3.以下是方程去分母、去括號后的結果，其中正確的是（　　）

A．    B.    C.    D.

4．分式方程 的解是（    ）

A．           B．           C．                D．

5.分式方程  的解是（　　）

A. ,           B. ,

C. ,       D.  

6.今年五月，某工程隊(有甲、乙兩組)承包人民路中段的路基改造工程，規定若干天內完成．

   (1) 已知甲組單獨完成這項工程所需時間比規定時間的2倍多4天，乙組單獨完成這項工程所需時間比規定時間的2倍少16天．如果甲、乙兩組合做24天完成，那么甲、乙兩組合做能否在規定時間內完成?

(2) 在實際工作中，甲、乙兩組合做完成這項工程的 后，工程隊又承包了東段的改造工程，需抽調一組過去，從按時完成中段任務考慮，你認為抽調哪一組最好？請說明理由．

 

 

 

 

不等式的基本性質

（1）若 ＜ ，則 +    ；

（2）若 ＞ ， ＞0則    （或     ）；

（3）若 ＞ ， ＜0則    （或      ）.

例1：1．不等式組的解集在數軸上表示為（     ）

 

1

0

2

A．

1

0

2

B．

1

0

2

C．

1

0

2

D．

 

 

 

2．解不等式組

3．解不等式組 ，并把它的解集表示在數軸上．

例2：綿陽市“全國文明村”江油白玉村果農王燦收獲枇杷20噸，桃子12噸．現計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批水果全部運往外地銷售，已知一輛甲種貨車可裝枇杷4噸和桃子1噸，一輛乙種貨車可裝枇杷和桃子各2噸．

（1）王燦如何安排甲、乙兩種貨車可一次性地運到銷售地？有幾種方案？

（2）若甲種貨車每輛要付運輸費300元，乙種貨車每輛要付運輸費240元，則果農王燦應選擇哪種方案，使運輸費最少？最少運費是多少？

例3：某商店需要購進一批電視機和洗衣機，根據市場調查，決定電視機進貨量不少于洗衣機的進貨量的一半．電視機與洗衣機的進價和售價如下表：

計劃購進電視機和洗衣機共100臺，商店最多可籌集資金161 800元．

（1）請你幫助商店算一算有多少種進貨方案？（不考慮除進價之外的其它費用）

（2）哪種進貨方案待商店銷售購進的電視機與洗衣機完畢后獲得利潤最多？并求出最多利潤．（利潤＝售價－進價）

【中考演練】

1．

用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力也越來越大．當未進入木塊的釘子長度足夠時，每次釘入木塊的釘子長度是前一次的．已知這個鐵釘被敲擊3次后全部進入木塊（木塊足夠厚），且第一次敲擊后鐵釘進入木塊的長度是2cm,若鐵釘總長度為acm，則a的取值范圍是               ．

2．海門市三星鎮的疊石橋國際家紡城是全國最大的家紡專業市場，年銷售額突破百億元．2005年5月20日，該家紡城的羽絨被和羊毛被這兩種產品的銷售價如下表：

現購買這兩種產品共80條，付款總額不超過2萬元．問最多可購買羽絨被____條．

3．6月1日起，某超市開始有償提供可重復使用的三種環保購物袋，每只售價分別為1元、2元和3元，這三種環保購物袋每只最多分別能裝大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在該超市選購了3只環保購物袋用來裝剛買的20公斤散裝大米，他們選購的3只環保購物袋至少應付給超市         元．

4.某校九年級三班為開展“迎2008年北京奧運會”的主題班會活動，派了小林和小明兩位同學去學校附近的超市購買鋼筆作為獎品，已知該超市的錦江牌鋼筆每支8元，紅梅牌鋼筆每支4.8元，他們要購買這兩種筆共40支．

(1)如果他們一共帶了240元，全部用于購買獎品，那么能買這兩種筆各多少支？

(2)小林和小明根據主題班會活動的設獎情況，決定所購買的錦江牌鋼筆數量要少于紅梅牌鋼筆的數量的，但又不少于紅梅牌鋼筆的數量的 .如果他們買了錦江牌鋼筆 支，買這兩種筆共花了元，

① 請寫出  (元)關于  (支)的函數關系式，并求出自變量 的取值范圍；

② 請幫他們計算一下，這兩種筆各購買多少支時，所花的錢最少，此時花了多少元？

5.某汽車租賃公司要購買轎車和面包車共10輛，其中轎車至少要購買3輛，轎車每輛7萬元，面包車每輛4萬元，公司可投入的購車款不超過55萬元；

（1）符合公司要求的購買方案有幾種？請說明理由；

（2）如果每輛轎車的日租金為200元，每輛面包車的日租金為110元，假設新購買的這10輛車每日都可租出，要使這10輛車的日租金不低于1500元，那么應選擇以上那種購買方案？

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