2016黃石中考數(shù)學(xué)試題試卷及答案

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2016年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)試卷
　
一、仔細(xì)選一選（本題有10個小題，每小題3分，共30分）下面每個小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項所對應(yīng)的字母在答題卷中相應(yīng)的格子涂黑．注意可用多種不同的方法來選取正確答案．
1． 的倒數(shù)是（　　）
A．  B．2 C．﹣2 D．﹣
2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
3．地球的平均半徑約為6 371 000米，該數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　　）
A．0.6371×107B．6.371×106C．6.371×107D．6.371×103
4．如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A=50°，則∠BDC=（　　）
 
A．50° B．100° C．120° D．130°
5．下列運算正確的是（　　）
A．a(chǎn)3•a2=a6B．a(chǎn)12÷a3=a4C．a(chǎn)3+b3=（a+b）3D．（a3）2=a6
6．黃石農(nóng)科所在相同條件下經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)蠶豆種子的發(fā)芽率為97.1%，請估計黃石地區(qū)1000斤蠶豆種子中不能發(fā)芽的大約有（　　）
A．971斤 B．129斤 C．97.1斤 D．29斤
7．某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則該幾何體可能是（　　）
 
A．長方體 B．圓錐 C．圓柱 D．球
8．如圖所示，⊙O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB，垂足為N，則ON=（　　）
 
A．5 B．7 C．9 D．11
9．以x為自變量的二次函數(shù)y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的圖象不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)b的取值范圍是（　　）
A．b≥ B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2
10．如圖所示，向一個半徑為R、容積為V的球形容器內(nèi)注水，則能夠反映容器內(nèi)水的體積y與容器內(nèi)水深x間的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
　
二、認(rèn)真填一填（本題有6個小題，每小題3分，共18分）要注意認(rèn)真看清題目的條件和要填寫的內(nèi)容，盡量完整地填寫答案．
11．因式分解：x2﹣36=　　　　　　．
12．關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的兩實數(shù)根之積為負(fù)，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　　．
13．如圖所示，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔4海里的A處，該海輪沿南偏東30°方向航行　　　　　　海里后，到達(dá)位于燈塔P的正東方向的B處．
 
14．如圖所示，一只螞蟻從A點出發(fā)到D，E，F(xiàn)處尋覓食物．假定螞蟻在每個岔路口都可能的隨機選擇一條向左下或右下的路徑（比如A岔路口可以向左下到達(dá)B處，也可以向右下到達(dá)C處，其中A，B，C都是岔路口）．那么，螞蟻從A出發(fā)到達(dá)E處的概率是　　　　　　．
 
15．如圖所示，正方形ABCD對角線AC所在直線上有一點O，OA=AC=2，將正方形繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°，在旋轉(zhuǎn)過程中，正方形掃過的面積是　　　　　　．
 
16．觀察下列等式：
第1個等式：a1= = ﹣1，
第2個等式：a2= = ﹣ ，
第3個等式：a3= =2﹣ ，
第4個等式：a4= = ﹣2，
按上述規(guī)律，回答以下問題：
（1）請寫出第n個等式：an=　　　　　　；
（2）a1+a2+a3+…+an=　　　　　　．
　
三、全面答一答（本題有9個小題，共72分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟．如果覺得有的題目有點困難，那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以．
17．計算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0．
18．先化簡，再求值： ÷ • ，其中a=2016．
19．如圖，⊙O的直徑為AB，點C在圓周上（異于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線．
 
20．解方程組 ．
21．為了解某市初三學(xué)生的體育測試成績和課外體育鍛煉時間的情況，現(xiàn)從全市初三學(xué)生體育測試成績中隨機抽取200名學(xué)生的體育測試成績作為樣本．體育成績分為四個等次：優(yōu)秀、良好、及格、不及格．
體育鍛煉時間 人數(shù)
4≤x≤6 　　　　　　
2≤x＜4 43
0≤x＜2 15
（1）試求樣本扇形圖中體育成績“良好”所對扇形圓心角的度數(shù)；
（2）統(tǒng)計樣本中體育成績“優(yōu)秀”和“良好”學(xué)生課外體育鍛煉時間表（如圖表所示），請將圖表填寫完整（記學(xué)生課外體育鍛煉時間為x小時）；
（3）全市初三學(xué)生中有14400人的體育測試成績?yōu)椤皟?yōu)秀”和“良好”，請估計這些學(xué)生中課外體育鍛煉時間不少于4小時的學(xué)生人數(shù)．
 
22．如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF結(jié)果精確到米）
 
23．科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園．
如圖所示，圖中點的橫坐標(biāo)x表示科技館從8：30開門后經(jīng)過的時間（分鐘），縱坐標(biāo)y表示到達(dá)科技館的總?cè)藬?shù)．圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y= ，10：00之后來的游客較少可忽略不計．
（1）請寫出圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量，館內(nèi)人數(shù)不超過684人，后來的人在館外休息區(qū)等待．從10：30開始到12：00館內(nèi)陸續(xù)有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時，館外等待的游客可全部進(jìn)入．請問館外游客最多等待多少分鐘？
 
24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如圖1，若點D關(guān)于直線AE的對稱點為F，求證：△ADF∽△ABC；
（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2；
（3）如圖3，若α=45°，點E在BC的延長線上，則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎？請說明理由．
 
25．如圖1所示，已知：點A（﹣2，﹣1）在雙曲線C：y= 上，直線l1：y=﹣x+2，直線l2與l1關(guān)于原點成中心對稱，F(xiàn)1（2，2），F(xiàn)2（﹣2，﹣2）兩點間的連線與曲線C在第一象限內(nèi)的交點為B，P是曲線C上第一象限內(nèi)異于B的一動點，過P作x軸平行線分別交l1，l2于M，N兩點．
（1）求雙曲線C及直線l2的解析式；
（2）求證：PF2﹣PF1=MN=4；
（3）如圖2所示，△PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2，PF1，PF2三邊分別相切于點Q，R，S，求證：點Q與點B重合．（參考公式：在平面坐標(biāo)系中，若有點A（x1，y1），B（x2，y2），則A、B兩點間的距離公式為AB= ．）
 
　
 

2016年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、仔細(xì)選一選（本題有10個小題，每小題3分，共30分）下面每個小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項所對應(yīng)的字母在答題卷中相應(yīng)的格子涂黑．注意可用多種不同的方法來選取正確答案．
1． 的倒數(shù)是（　　）
A．  B．2 C．﹣2 D．﹣
【分析】直接利用倒數(shù)的定義分析求出答案．
【解答】解：∵2× =1，
∴ 的倒數(shù)是：2．
故選：B．
【點評】此題主要考查了倒數(shù)的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
　
2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【分析】依據(jù)軸對稱圖形的定義和中心對稱圖形的定義回答即可．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故A錯誤；
B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故B正確；
C、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故C錯誤；
D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故D錯誤．
故選：B．
【點評】本題主要考查的是軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的特點是解題的關(guān)鍵．
　
3．地球的平均半徑約為6 371 000米，該數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　　）
A．0.6371×107B．6.371×106C．6.371×107D．6.371×103
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：6 371 000=6.371×106，
故選：B．
【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
4．如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A=50°，則∠BDC=（　　）
 
A．50° B．100° C．120° D．130°
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCA=∠A，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：∵DE是線段AC的垂直平分線，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，
故選：B．
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
　
5．下列運算正確的是（　　）
A．a(chǎn)3•a2=a6B．a(chǎn)12÷a3=a4C．a(chǎn)3+b3=（a+b）3D．（a3）2=a6
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法、合并同類項以及冪的乘方與積的乘方計算法則進(jìn)行解答．
【解答】解：A、原式=a3+2=a5，故本選項錯誤；
B、原式=a12﹣3=a9，故本選項錯誤；
C、右邊=a3+3a2b+3ab2+b3≠左邊，故本選項錯誤；
D、原式=a3×2=a6，故本選項正確．
故選：D．
【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法、合并同類項以及冪的乘方與積的乘方，熟記計算法則即可解答該題．
　
6．黃石農(nóng)科所在相同條件下經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)蠶豆種子的發(fā)芽率為97.1%，請估計黃石地區(qū)1000斤蠶豆種子中不能發(fā)芽的大約有（　　）
A．971斤 B．129斤 C．97.1斤 D．29斤
【分析】根據(jù)蠶豆種子的發(fā)芽率為97.1%，可以估計黃石地區(qū)1000斤蠶豆種子中不能發(fā)芽的大約有多少，本題得以解決．
【解答】解：由題意可得，
黃石地區(qū)1000斤蠶豆種子中不能發(fā)芽的大約有：1000×（1﹣97.1%）=1000×0.029=29斤，
故選D．
【點評】本題考查用樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是明確題意，注意求得是不能發(fā)芽的種子數(shù)．
　
7．某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則該幾何體可能是（　　）
 
A．長方體 B．圓錐 C．圓柱 D．球
【分析】主視圖、左視圖是分別從物體正面、左面看，所得到的圖形，根據(jù)該幾何體的主視圖和左視圖都是長方形，可得該幾何體可能是圓柱體．
【解答】解：∵如圖所示幾何體的主視圖和左視圖，
∴該幾何體可能是圓柱體．
故選C．
【點評】本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學(xué)生空間想象能力，掌握常見幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．
　
8．如圖所示，⊙O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB，垂足為N，則ON=（　　）
 
A．5 B．7 C．9 D．11
【分析】根據(jù)⊙O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB，可以求得AN的長，從而可以求得ON的長．
【解答】解：由題意可得，
OA=13，∠ONA=90°，AB=24，
∴AN=12，
∴ON= ，
故選A．
【點評】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是明確垂徑定理的內(nèi)容，利用垂徑定理解答問題．
　
9．以x為自變量的二次函數(shù)y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的圖象不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)b的取值范圍是（　　）
A．b≥ B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2
【分析】由于二次函數(shù)y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的圖象不經(jīng)過第三象限，所以拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，根據(jù)二次項系數(shù)知道拋物線開口方向向上，由此可以確定拋物線與x軸有無交點，拋物線與y軸的交點的位置，由此即可得出關(guān)于b的不等式組，解不等式組即可求解．
【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的圖象不經(jīng)過第三象限，
∴拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，
當(dāng)拋物線在x軸的上方時，
∵二次項系數(shù)a=1，
∴拋物線開口方向向上，
∴b2﹣1≥0，△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0，
解得b≥ ；
當(dāng)拋物線在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限時，
設(shè)拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，
∴x1+x2=2（b﹣2）≥0，b2﹣1≥0，
∴△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，①
b﹣2＞0，②
b2﹣1＞0，③
由①得b＜ ，由②得b＞2，
∴此種情況不存在，
∴b≥ ，
故選A．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會根據(jù)圖象的位置得到關(guān)于b的不等式組解決問題．
　
10．如圖所示，向一個半徑為R、容積為V的球形容器內(nèi)注水，則能夠反映容器內(nèi)水的體積y與容器內(nèi)水深x間的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【分析】水深h越大，水的體積v就越大，故容器內(nèi)水的體積y與容器內(nèi)水深x間的函數(shù)是增函數(shù)，根據(jù)球的特征進(jìn)行判斷分析即可．
【解答】解：根據(jù)球形容器形狀可知，函數(shù)y的變化趨勢呈現(xiàn)出，當(dāng)0＜x＜R時，y增量越來越大，當(dāng)R＜x＜2R時，y增量越來越小，
曲線上的點的切線斜率先是逐漸變大，后又逐漸變小，故y關(guān)于x的函數(shù)圖象是先凹后凸．
故選（A）
【點評】本題主要考查了函數(shù)圖象的變化特征，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．解得此類試題時注意，如果把自變量與函數(shù)的每一對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形就是這個函數(shù)的圖象．
　
二、認(rèn)真填一填（本題有6個小題，每小題3分，共18分）要注意認(rèn)真看清題目的條件和要填寫的內(nèi)容，盡量完整地填寫答案．
11．因式分解：x2﹣36=　（x+6）（x﹣6）　．
【分析】直接用平方差公式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：x2﹣36=（x+6）（x﹣6）．
【點評】本題主要考查利用平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．
　
12．關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的兩實數(shù)根之積為負(fù)，則實數(shù)m的取值范圍是　m＞ 　．
【分析】設(shè)x1、x2為方程x2+2x﹣2m+1=0的兩個實數(shù)根．由方程有實數(shù)根以及兩根之積為負(fù)可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)x1、x2為方程x2+2x﹣2m+1=0的兩個實數(shù)根，
由已知得： ，即
解得：m＞ ．
故答案為：m＞ ．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于m的一元一次不等式組．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根的情況結(jié)合根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于m的一元一次不等式組是關(guān)鍵．
　
13．如圖所示，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔4海里的A處，該海輪沿南偏東30°方向航行　4　海里后，到達(dá)位于燈塔P的正東方向的B處．
 
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔4海里的A處，該海輪沿南偏東30°方向航行 4海里后，到達(dá)位于燈塔P的正東方向的B處
故答案為：4．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用了等腰三角形的腰相等是解題關(guān)鍵．
　
14．如圖所示，一只螞蟻從A點出發(fā)到D，E，F(xiàn)處尋覓食物．假定螞蟻在每個岔路口都可能的隨機選擇一條向左下或右下的路徑（比如A岔路口可以向左下到達(dá)B處，也可以向右下到達(dá)C處，其中A，B，C都是岔路口）．那么，螞蟻從A出發(fā)到達(dá)E處的概率是　 　．
 
【分析】首先根據(jù)題意可得共有4種等可能的結(jié)果，螞蟻從A出發(fā)到達(dá)E處的2種情況，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：畫樹狀圖得：
 
∵共有4種等可能的結(jié)果，螞蟻從A出發(fā)到達(dá)E處的2種情況，
∴螞蟻從A出發(fā)到達(dá)E處的概率是：  = ．
故答案為： ．
【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
15．如圖所示，正方形ABCD對角線AC所在直線上有一點O，OA=AC=2，將正方形繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°，在旋轉(zhuǎn)過程中，正方形掃過的面積是　2π+2　．
 
【分析】如圖，用大扇形的面積減去小扇形的面積再加上正方形ABCD的面積．
【解答】解：∵OA=AC=2，
∴AB=BC=CD=AD= ，OC=4，
S陰影= + =2π+2，
故答案為：2π+2．
【點評】此題考查了扇形的面積公式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，能夠把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)換為規(guī)則圖形的面積是解答此題的關(guān)鍵．
　
16．觀察下列等式：
第1個等式：a1= = ﹣1，
第2個等式：a2= = ﹣ ，
第3個等式：a3= =2﹣ ，
第4個等式：a4= = ﹣2，
按上述規(guī)律，回答以下問題：
（1）請寫出第n個等式：an=　 = ﹣ ；　；
（2）a1+a2+a3+…+an=　 ﹣1　．
【分析】（1）根據(jù)題意可知，a1= = ﹣1，a2= = ﹣ ，a3= =2﹣ ，a4= = ﹣2，…由此得出第n個等式：an= = ﹣ ；
（2）將每一個等式化簡即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第1個等式：a1= = ﹣1，
第2個等式：a2= = ﹣ ，
第3個等式：a3= =2﹣ ，
第4個等式：a4= = ﹣2，
∴第n個等式：an= = ﹣ ；
（2）a1+a2+a3+…+an
=（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（2﹣ ）+（ ﹣2）+…+（ ﹣ ）
= ﹣1．
故答案為 = ﹣ ； ﹣1．
【點評】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律以及分母有理化，要求學(xué)生首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案．
　
三、全面答一答（本題有9個小題，共72分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟．如果覺得有的題目有點困難，那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以．
17．計算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0．
【分析】根據(jù)實數(shù)的運算順序，首先計算乘方和乘法，然后從左向右依次計算，求出算式（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0
=1+2× ﹣ +1
=1+ ﹣ +1
=2
【點評】（1）此題主要考查了實數(shù)的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．
（2）此題還考查了零指數(shù)冪的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此題還考查了特殊角的三角函數(shù)值，要牢記30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
　
18．先化簡，再求值： ÷ • ，其中a=2016．
【分析】先算除法，再算乘法，把分式化為最簡形式，最后把a=2016代入進(jìn)行計算即可．
【解答】解：原式= • •
=（a﹣1）•
=a+1，
當(dāng)a=2016時，原式=2017．
【點評】本題考查的是分式的化簡求值，在解答此類問題時要注意把分式化為最簡形式，再代入求值．
　
19．如圖，⊙O的直徑為AB，點C在圓周上（異于A，B），AD⊥CD．
（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線．
 
【分析】（1）首先根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的長即可；
（2）連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質(zhì)和等邊對等角，可證得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，
又∵BC=3，AB=5，
∴由勾股定理得AC=4；

（2）證明：∵AC是∠DAB的角平分線，
∴∠DAC=∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA=∠CBA，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC=90°，
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切線．
 
【點評】此題主要考查的是切線的判定方法．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
　
20．解方程組 ．
【分析】首先聯(lián)立方程組消去x求出y的值，然后再把y的值代入x﹣y=2中求出x的值即可．
【解答】解：將兩式聯(lián)立消去x得：
9（y+2）2﹣4y2=36，
即5y2+36y=0，
解得：y=0或﹣ ，
當(dāng)y=0時，x=2，
y=﹣ 時，x=﹣ ；
原方程組的解為 或 ．
【點評】本題主要考查了高次方程的知識，解答本題的關(guān)鍵是進(jìn)行降次解方程，此題難度不大．
　
21．為了解某市初三學(xué)生的體育測試成績和課外體育鍛煉時間的情況，現(xiàn)從全市初三學(xué)生體育測試成績中隨機抽取200名學(xué)生的體育測試成績作為樣本．體育成績分為四個等次：優(yōu)秀、良好、及格、不及格．
體育鍛煉時間 人數(shù)
4≤x≤6 　62　
2≤x＜4 43
0≤x＜2 15
（1）試求樣本扇形圖中體育成績“良好”所對扇形圓心角的度數(shù)；
（2）統(tǒng)計樣本中體育成績“優(yōu)秀”和“良好”學(xué)生課外體育鍛煉時間表（如圖表所示），請將圖表填寫完整（記學(xué)生課外體育鍛煉時間為x小時）；
（3）全市初三學(xué)生中有14400人的體育測試成績?yōu)椤皟?yōu)秀”和“良好”，請估計這些學(xué)生中課外體育鍛煉時間不少于4小時的學(xué)生人數(shù)．
 
【分析】（1）直接利用扇形統(tǒng)計圖得出體育成績“良好”所占百分比，進(jìn)而求出所對扇形圓心角的度數(shù)；
（2）首先求出體育成績“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生數(shù)，再利用表格中數(shù)據(jù)求出答案；
（3）直接利用“優(yōu)秀”和“良好”學(xué)生所占比例得出學(xué)生中課外體育鍛煉時間不少于4小時的學(xué)生人數(shù)．
【解答】解：（1）由題意可得：
樣本扇形圖中體育成績“良好”所對扇形圓心角的度數(shù)為：（1﹣15%﹣14%﹣26%）×360°=162°；

（2）∵體育成績“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生有：200×（1﹣14%﹣26%）=120（人），
∴4≤x≤6范圍內(nèi)的人數(shù)為：120﹣43﹣15=62（人）；
故答案為：62；

（3）由題意可得： ×14400=7440（人），
答：估計課外體育鍛煉時間不少于4小時的學(xué)生人數(shù)為7440人．
【點評】此題主要考查了扇形統(tǒng)計圖以及利用樣本估計總體，正確利用扇形統(tǒng)計圖和表格中數(shù)據(jù)得出正確信息是解題關(guān)鍵．
　
22．如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF結(jié)果精確到米）
 
【分析】（1）作BH⊥AF于H，如圖，在Rt△ABF中根據(jù)正弦的定義可計算出BH的長，從而得到EF的長；
（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦計算出CE，然后計算CE和EF的和即可．
【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如圖，
在Rt△ABF中，∵sin∠BAH= ，
∴BH=800•sin30°=400，
∴EF=BH=400m；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE= ，
∴CE=200•sin45°=100 ≈141.4，
∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．
答：AB段山坡高度為400米，山CF的高度約為541米．
 
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度與坡角問題：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式．把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i═tanα．
　
23．科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園．
如圖所示，圖中點的橫坐標(biāo)x表示科技館從8：30開門后經(jīng)過的時間（分鐘），縱坐標(biāo)y表示到達(dá)科技館的總?cè)藬?shù)．圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y= ，10：00之后來的游客較少可忽略不計．
（1）請寫出圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量，館內(nèi)人數(shù)不超過684人，后來的人在館外休息區(qū)等待．從10：30開始到12：00館內(nèi)陸續(xù)有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時，館外等待的游客可全部進(jìn)入．請問館外游客最多等待多少分鐘？
 
【分析】（1）構(gòu)建待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）先求出館內(nèi)人數(shù)等于684人時的時間，再求出直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時的時間，即可解決問題．
【解答】解（1）由圖象可知，300=a×302，解得a= ，
n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣ ，
∴y= ，

（2）由題意﹣ （x﹣90）2+700=684，
解得x=78，
∴ =15，
∴15+30+（90﹣78）=57分鐘
所以，館外游客最多等待57分鐘．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．
　
24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如圖1，若點D關(guān)于直線AE的對稱點為F，求證：△ADF∽△ABC；
（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2；
（3）如圖3，若α=45°，點E在BC的延長線上，則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎？請說明理由．
 
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等兩三角形相似證明；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可；
（3）作點D關(guān)于AE的對稱點F，連接EF、CF，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE，AF=AD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可．
【解答】證明：（1）∵點D關(guān)于直線AE的對稱點為F，
∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，
又∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠BAC=∠DAF，
∵AB=AC，
∴ = ，
∴△ADF∽△ABC；

（2）∵點D關(guān)于直線AE的對稱點為F，
∴EF=DE，AF=AD，
∵α=45°，
∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2；

（3）DE2=BD2+CE2還能成立．
理由如下：作點D關(guān)于AE的對稱點F，連接EF、CF，
由軸對稱的性質(zhì)得，EF=DE，AF=AD，
∵α=45°，
∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2．
 
【點評】本題是相似形綜合題，主要利用了軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定，同角的余角相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，此類題目，小題間的思路相同是解題的關(guān)鍵．
　
25．如圖1所示，已知：點A（﹣2，﹣1）在雙曲線C：y= 上，直線l1：y=﹣x+2，直線l2與l1關(guān)于原點成中心對稱，F(xiàn)1（2，2），F(xiàn)2（﹣2，﹣2）兩點間的連線與曲線C在第一象限內(nèi)的交點為B，P是曲線C上第一象限內(nèi)異于B的一動點，過P作x軸平行線分別交l1，l2于M，N兩點．
（1）求雙曲線C及直線l2的解析式；
（2）求證：PF2﹣PF1=MN=4；
（3）如圖2所示，△PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2，PF1，PF2三邊分別相切于點Q，R，S，求證：點Q與點B重合．（參考公式：在平面坐標(biāo)系中，若有點A（x1，y1），B（x2，y2），則A、B兩點間的距離公式為AB= ．）
 
【分析】（1）利用點A的坐標(biāo)求出a的值，根據(jù)原點對稱的性質(zhì)找出直線l2上兩點的坐標(biāo)，求出解析式；
（2）設(shè)P（x， ），利用兩點距離公式分別求出PF1、PF2、PM、PN的長，相減得出結(jié)論；
（3）利用切線長定理得出 ，并由（2）的結(jié)論PF2﹣PF1=4得出PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4，再由兩點間距離公式求出F1F2的長，計算出OQ和OB的長，得出點Q與點B重合．
【解答】解：（1）解：把A（﹣2，﹣1）代入y= 中得：
a=（﹣2）×（﹣1）=2，
∴雙曲線C：y= ，
∵直線l1與x軸、y軸的交點分別是（2，0）、（0，2），它們關(guān)于原點的對稱點分別是（﹣2，0）、（0，﹣2），
∴l(xiāng)2：y=﹣x﹣2
（2）設(shè)P（x， ），
由F1（2，2）得：PF12=（x﹣2）2+（ ﹣2）2=x2﹣4x+ ﹣ +8，
∴PF12=（x+ ﹣2）2，
∵x+ ﹣2= = ＞0，
∴PF1=x+ ﹣2，
∵PM∥x軸
∴PM=PE+ME=PE+EF=x+ ﹣2，
∴PM=PF1，
同理，PF22=（x+2）2+（ +2）2=（x+ +2）2，
∴PF2=x+ +2， PN=x+ +2
因此PF2=PN，
∴PF2﹣PF1=PN﹣PM=MN=4，
（3）△PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2，PF1，PF2三邊分別相切于點Q，R，S，
∴ ⇒PF2﹣PF1=QF2﹣QF1=4
又∵QF2+QF1=F1F2=4 ，QF1=2 ﹣2，
∴QO=2，
∵B（ ， ），
∴OB=2=OQ，
所以，點Q與點B重合．
 
【點評】此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，將代數(shù)與幾何融合在一起，注意函數(shù)中線段的長可以利用本題給出的兩點距離公式解出，也可以利用勾股定理解出；解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．

2016黃石中考數(shù)學(xué)試題試卷及答案