中考《圓》五大考點解析

中考《圓》五大考點解析
 
 
 
　　【中高考名師團成員】

　　萬廣磊

　　揚大附中東部分校

　　各地中考試卷中對圓這部分內容的考查,最突出的特點是強調基礎,重視實用。考查的題型大多以填空題、選擇題的形式出現。另一方面考查的題型以計算題和證明題的形式出現。那么中考有哪些關于圓的考點呢？

　　考點一：與圓有關的概念

　　1．圓的定義：

　　在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓。固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓可以看成是到定點距離等于定長的所有點的集合。

　　2．弦的定義：

　　連接圓上任意兩點的線段叫做弦（如圖中的AB），經過圓心的弦叫做直徑（如圖中的CD），直徑等于半徑的2倍。

　　3．弧的定義：

　　圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優弧（多用三個字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個字母表示）。能夠重合的弧叫做等弧。

　　小貼士：很多同學將等弧理解為長度相等的弧，這是錯誤的。另外，直徑是弦，半徑不是弦。

　　【例1】下列語句中，正確的有（ ）。

　　A. 相等的圓心角所對的弧相等       B．平分弦的直徑垂直于弦  

　　C. 長度相等的兩條弧是等弧         D．過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸

　　【解析】A、C選項成立的前提條件都是“在同圓或等圓中”，B選項被平分的弦不能是直徑，只有D選項正確。

　　【答案】D

　　考點二：圓的旋轉不變性

　　（1）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條直徑所在直線；圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

　　（2）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；

　　（3）圓心角的度數等于它所對的弧的度數。

　　小貼士：用本課所學的定理可以證明弧相等，線段相等，角度相等，通常運用“等量加減等量仍是等量”的性質解題．在圓內可以通過作弦、作直徑、作半徑，構造出圓周角或圓心角，為打通角與角之間的關系以及計算角度帶來方便。

　　【例2】（2010南京）如圖，點C在⊙O上，將圓心角∠AOB繞點O按逆時針方向旋轉到′      ，旋轉角為α（0°＜α＜180°）。若∠AOB=30°，∠BCA′=40°，則∠α=      度。

　　【解析】根據圓周角定理可求∠BOA′=2∠BC′A=80°，又已知∠AOB=30°，故∠α=∠AOB+∠BOA′=110°。

　　【答案】110。

　　考點三：圓的軸對稱性

　　(1)定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

　　(2)推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

　　小貼士：（1）垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系等的重要依據；垂徑定理指：只要一條線段：①“過圓心”；②“垂直于另一條弦”；就得到：③“平分這另一條弦”；④“平分這另一條弦所對的劣弧”；⑤“平分這另一條弦所對的優弧”；也就是說由前兩個條件，必得到另外三個結論。

　　（2）通常情況下，可以過圓心作已知弦的垂線段，連接半徑構造直角三角形，運用垂徑定理、勾股定理建立含有未知量的方程求一條弦長。

　　【例3】（2010廣西梧州）如圖6，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則下列結論一定正確的個數有（   ）。

　　①CE=DE；  ②BE=OE；          ；           ④∠CAB=∠DAB； ⑤AC=AD。

　　A．4個    B．3個   

　　C．2個    D．1個

　　【解析】本題根據垂徑定理來判斷所給出的結論是否正確。由AB是⊙O的直徑。且AB⊥CD，得到CE＝DE，          ；進而∠CAB＝∠DAB；（故①、③、④正確）；AB垂直平分CD，得到AC＝AD；（故⑤正確）由于沒有條件能夠證明BE＝OE，故②不一定成立。所以一定正確的結論是①③④⑤。

　　【答案】A。

　　考點四：圓心角與圓周角

　　(1)定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

　　(2)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

　　(3)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

　　（4）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

　　小貼士：在圓中，見到直徑要聯想到它所對的圓周角是直角，構造出直角三角形，得到線段間的垂直關系；有90°的圓周角就想到連接直徑；另外，要善于發現圖中同弧或等弧所對的圓周角轉化相等關系。還要注意因考慮不周造成漏解出錯。

　　【例4】（2010江蘇連云港）如圖，點A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，則∠A＝      度。

　　【解析】解：因為BA∥CO，所以∠A＝∠AOC；因為∠B＝22°，所以∠A＝∠AOC＝2∠B＝44°。

　　【答案】44。

　　考點五：三角形的外接圓

　　(1)不在同一直線上的三點確定一個圓；

　　(2)三角形外接圓的圓心就是該三角形的外心，是三邊垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等。

　　小貼士：在作一個三角形的外接圓時，關鍵是確定圓心和半徑，作出兩邊的垂直平分線其交點就是圓心，圓心到任意一個頂點的連線就是半徑。

　　【例5】已知△ABC是半徑為2cm的圓內接三角形，若BC=      cm，則∠A=   。

　　【解析】弦BC所對的圓心角是120°，A點可能在弦BC所對的劣弧上，∠A=120°；也可能在優弧上，∠A=60°。

　　【答案】∠A=60°或120°。
 

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