中考《圓》五大考點(diǎn)解析

中考《圓》五大考點(diǎn)解析
 
 
 
　　【中高考名師團(tuán)成員】

　　萬(wàn)廣磊

　　揚(yáng)大附中東部分校

　　各地中考試卷中對(duì)圓這部分內(nèi)容的考查,最突出的特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ),重視實(shí)用。考查的題型大多以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)。另一方面考查的題型以計(jì)算題和證明題的形式出現(xiàn)。那么中考有哪些關(guān)于圓的考點(diǎn)呢？

　　考點(diǎn)一：與圓有關(guān)的概念

　　1．圓的定義：

　　在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線(xiàn)段OA叫做半徑。圓可以看成是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合。

　　2．弦的定義：

　　連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦（如圖中的AB），經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（如圖中的CD），直徑等于半徑的2倍。

　　3．弧的定義：

　　圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧（多用三個(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個(gè)字母表示）。能夠重合的弧叫做等弧。

　　小貼士：很多同學(xué)將等弧理解為長(zhǎng)度相等的弧，這是錯(cuò)誤的。另外，直徑是弦，半徑不是弦。

　　【例1】下列語(yǔ)句中，正確的有（ ）。

　　A. 相等的圓心角所對(duì)的弧相等       B．平分弦的直徑垂直于弦  

　　C. 長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧         D．過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸

　　【解析】A、C選項(xiàng)成立的前提條件都是“在同圓或等圓中”，B選項(xiàng)被平分的弦不能是直徑，只有D選項(xiàng)正確。

　　【答案】D

　　考點(diǎn)二：圓的旋轉(zhuǎn)不變性

　　（1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條直徑所在直線(xiàn)；圓也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心是圓心。

　　（2）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；

　　（3）圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。

　　小貼士：用本課所學(xué)的定理可以證明弧相等，線(xiàn)段相等，角度相等，通常運(yùn)用“等量加減等量仍是等量”的性質(zhì)解題．在圓內(nèi)可以通過(guò)作弦、作直徑、作半徑，構(gòu)造出圓周角或圓心角，為打通角與角之間的關(guān)系以及計(jì)算角度帶來(lái)方便。

　　【例2】（2010南京）如圖，點(diǎn)C在⊙O上，將圓心角∠AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到′      ，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）。若∠AOB=30°，∠BCA′=40°，則∠α=      度。

　　【解析】根據(jù)圓周角定理可求∠BOA′=2∠BC′A=80°，又已知∠AOB=30°，故∠α=∠AOB+∠BOA′=110°。

　　【答案】110。

　　考點(diǎn)三：圓的軸對(duì)稱(chēng)性

　　(1)定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

　　(2)推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

　　小貼士：（1）垂徑定理提供了證明線(xiàn)段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系等的重要依據(jù)；垂徑定理指：只要一條線(xiàn)段：①“過(guò)圓心”；②“垂直于另一條弦”；就得到：③“平分這另一條弦”；④“平分這另一條弦所對(duì)的劣弧”；⑤“平分這另一條弦所對(duì)的優(yōu)弧”；也就是說(shuō)由前兩個(gè)條件，必得到另外三個(gè)結(jié)論。

　　（2）通常情況下，可以過(guò)圓心作已知弦的垂線(xiàn)段，連接半徑構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用垂徑定理、勾股定理建立含有未知量的方程求一條弦長(zhǎng)。

　　【例3】（2010廣西梧州）如圖6，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的個(gè)數(shù)有（   ）。

　　①CE=DE；  ②BE=OE；          ；           ④∠CAB=∠DAB； ⑤AC=AD。

　　A．4個(gè)    B．3個(gè)   

　　C．2個(gè)    D．1個(gè)

　　【解析】本題根據(jù)垂徑定理來(lái)判斷所給出的結(jié)論是否正確。由AB是⊙O的直徑。且AB⊥CD，得到CE＝DE，          ；進(jìn)而∠CAB＝∠DAB；（故①、③、④正確）；AB垂直平分CD，得到AC＝AD；（故⑤正確）由于沒(méi)有條件能夠證明BE＝OE，故②不一定成立。所以一定正確的結(jié)論是①③④⑤。

　　【答案】A。

　　考點(diǎn)四：圓心角與圓周角

　　(1)定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

　　(2)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。

　　(3)半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

　　（4）如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

　　小貼士：在圓中，見(jiàn)到直徑要聯(lián)想到它所對(duì)的圓周角是直角，構(gòu)造出直角三角形，得到線(xiàn)段間的垂直關(guān)系；有90°的圓周角就想到連接直徑；另外，要善于發(fā)現(xiàn)圖中同弧或等弧所對(duì)的圓周角轉(zhuǎn)化相等關(guān)系。還要注意因考慮不周造成漏解出錯(cuò)。

　　【例4】（2010江蘇連云港）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，則∠A＝      度。

　　【解析】解：因?yàn)锽A∥CO，所以∠A＝∠AOC；因?yàn)椤螧＝22°，所以∠A＝∠AOC＝2∠B＝44°。

　　【答案】44。

　　考點(diǎn)五：三角形的外接圓

　　(1)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓；

　　(2)三角形外接圓的圓心就是該三角形的外心，是三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

　　小貼士：在作一個(gè)三角形的外接圓時(shí)，關(guān)鍵是確定圓心和半徑，作出兩邊的垂直平分線(xiàn)其交點(diǎn)就是圓心，圓心到任意一個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)就是半徑。

　　【例5】已知△ABC是半徑為2cm的圓內(nèi)接三角形，若BC=      cm，則∠A=   。

　　【解析】弦BC所對(duì)的圓心角是120°，A點(diǎn)可能在弦BC所對(duì)的劣弧上，∠A=120°；也可能在優(yōu)弧上，∠A=60°。

　　【答案】∠A=60°或120°。
 

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