2011年中考數(shù)學綜合題解題思路分析

黃浦區(qū)教師進修學院 李建國

縱觀近五年的上海市數(shù)學中考試題，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學綜合題的重點都放在高中繼續(xù)學習必須的函數(shù)問題上。此類題在中考中往往有起點不高、但要求較全面的特點。常常以數(shù)與形、代數(shù)計算與幾何證明、相似三角形和四邊形的判定與性質(zhì)、畫圖分析與列方程求解、勾股定理與函數(shù)、圓和三角比相結(jié)合的綜合性試題。同時考查學生初中數(shù)學中最重要的數(shù)學思想方法如數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和幾何運動變化等數(shù)學思想。此類題融入了動態(tài)幾何的變和不變，對給定的圖形（或其一部分）施行平移、翻折和旋轉(zhuǎn)的位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系。其特點是：注重考查學生的實驗、猜想、證明的探索能力。解題靈活多變，能夠考查學生分析問題和解決問題的能力，有一定難度，但上手還是容易的。此類題還常常會以幾個小問題出現(xiàn)，相當于幾個臺階，這種恰當?shù)匿亯|給了考生較寬的入口，有利于考生正常水平的發(fā)揮。而通過層層設(shè)問，拾級而上，逐步深入，能夠使一部分優(yōu)秀學生數(shù)學水平得到體現(xiàn)。數(shù)學綜合題關(guān)鍵是第24題和25題，我們不妨把它分為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題。

函數(shù)型綜合題

這通常是先給定直角坐標系和幾何圖形，求（已知）函數(shù)的解析式（即在求解前已知函數(shù)的類型），然后進行圖形的研究，求點的坐標或研究圖形的某些性質(zhì)。

初中已知函數(shù)有①一次函數(shù) （包括正比例函數(shù)）和常值函數(shù)，它們所對應(yīng)的圖像是直線；②反比例函數(shù)，它所對應(yīng)的圖像是雙曲線；③二次函數(shù)，它所對應(yīng)的圖像是拋物線。

求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求點的坐標，而求點的坐標基本方法是幾何法（圖形法）和代數(shù)法（解析法）。此類題基本在第24題，滿分12分，基本分2－3小題來呈現(xiàn)。

幾何型綜合題

這通常是先給定幾何圖形，根據(jù)已知條件進行計算，然后有動點（或動線段）運動，對應(yīng)產(chǎn)生線段、面積等的變化，求對應(yīng)的（未知）函數(shù)的解析式 （即在沒有求出之前不知道函數(shù)解析式的形式是什么）和求函數(shù)的定義域，最后根據(jù)所求的函數(shù)關(guān)系進行探索研究，探索研究的一般類型有：①在什么條件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四邊形是菱形、梯形等；③探索兩個三角形滿足什么條件相似；④探究線段之間的位置關(guān)系等；⑤探索面積之間滿足一定關(guān)系求x的值等；⑥直線（圓）與圓的相切時求自變量的值等。

求未知函數(shù)解析式的關(guān)鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關(guān)系（即列出含有x、y的方程），變形寫成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和復合法（列出含有x和y和第三個變量的方程，然后求出第三個變量和x之間的函數(shù)關(guān)系式，代入消去第三個變量，得到y(tǒng)＝f（x）的形式），當然還有參數(shù)法，這個已超出初中數(shù)學教學要求。

找等量關(guān)系的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似等。求定義域主要是尋找圖形的特殊位置（極限位置）和根據(jù)解析式求解。

而最后的探索問題千變?nèi)f化，但少不了對圖形的分析和研究，用幾何和代數(shù)的方法求出x的值。幾何型綜合題基本在第25題做為壓軸題出現(xiàn)，滿分14分，一般分三小題呈現(xiàn)。

2010年中考數(shù)學綜合題啟示我們在進行綜合思維的時候要做到：數(shù)形結(jié)合記心頭，大題小作來轉(zhuǎn)化，潛在條件不能忘，化動為靜多畫圖，方程函數(shù)是工具，計算推理要嚴謹，創(chuàng)新品質(zhì)得提高。

2010年的綜合題沒有了進一步的探究題，沒有翹尾巴的難度，試題設(shè)計保留較多的解題途徑，使分析問題、解決問題的基本功和靈活性都得到較充分的考查，這樣既有利于提升整卷效度，又便于控制試題及整卷的難度，有利于提升對于課堂教學及復習的正面指導意義。它的意義很明確就是要指導初中數(shù)學教學不要把試題無限制加深、加難，而把教學的重點放在提高學生的數(shù)學素養(yǎng)上，這樣有利于推進中小學實施素質(zhì)教育；有利于推進中小學課程改革；有利于促進初中教育教學改革；有利于切實減輕中學生過重的學業(yè)負擔；有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力；有利于促進學生全面和諧、富有個性的發(fā)展；有利于學生在高中教育階段的可持續(xù)發(fā)展。

2011年中考數(shù)學綜合題解題思路分析