2011年中考數學綜合題解題思路分析

黃浦區教師進修學院 李建國

縱觀近五年的上海市數學中考試題，我們不難發現，數學綜合題的重點都放在高中繼續學習必須的函數問題上。此類題在中考中往往有起點不高、但要求較全面的特點。常常以數與形、代數計算與幾何證明、相似三角形和四邊形的判定與性質、畫圖分析與列方程求解、勾股定理與函數、圓和三角比相結合的綜合性試題。同時考查學生初中數學中最重要的數學思想方法如數形結合的思想、分類討論的思想和幾何運動變化等數學思想。此類題融入了動態幾何的變和不變，對給定的圖形（或其一部分）施行平移、翻折和旋轉的位置變化，然后在新的圖形中分析有關圖形之間的關系。其特點是：注重考查學生的實驗、猜想、證明的探索能力。解題靈活多變，能夠考查學生分析問題和解決問題的能力，有一定難度，但上手還是容易的。此類題還常常會以幾個小問題出現，相當于幾個臺階，這種恰當的鋪墊給了考生較寬的入口，有利于考生正常水平的發揮。而通過層層設問，拾級而上，逐步深入，能夠使一部分優秀學生數學水平得到體現。數學綜合題關鍵是第24題和25題，我們不妨把它分為函數型綜合題和幾何型綜合題。

函數型綜合題

這通常是先給定直角坐標系和幾何圖形，求（已知）函數的解析式（即在求解前已知函數的類型），然后進行圖形的研究，求點的坐標或研究圖形的某些性質。

初中已知函數有①一次函數 （包括正比例函數）和常值函數，它們所對應的圖像是直線；②反比例函數，它所對應的圖像是雙曲線；③二次函數，它所對應的圖像是拋物線。

求已知函數的解析式主要方法是待定系數法，關鍵是求點的坐標，而求點的坐標基本方法是幾何法（圖形法）和代數法（解析法）。此類題基本在第24題，滿分12分，基本分2－3小題來呈現。

幾何型綜合題

這通常是先給定幾何圖形，根據已知條件進行計算，然后有動點（或動線段）運動，對應產生線段、面積等的變化，求對應的（未知）函數的解析式 （即在沒有求出之前不知道函數解析式的形式是什么）和求函數的定義域，最后根據所求的函數關系進行探索研究，探索研究的一般類型有：①在什么條件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四邊形是菱形、梯形等；③探索兩個三角形滿足什么條件相似；④探究線段之間的位置關系等；⑤探索面積之間滿足一定關系求x的值等；⑥直線（圓）與圓的相切時求自變量的值等。

求未知函數解析式的關鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關系（即列出含有x、y的方程），變形寫成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和復合法（列出含有x和y和第三個變量的方程，然后求出第三個變量和x之間的函數關系式，代入消去第三個變量，得到y＝f（x）的形式），當然還有參數法，這個已超出初中數學教學要求。

找等量關系的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似等。求定義域主要是尋找圖形的特殊位置（極限位置）和根據解析式求解。

而最后的探索問題千變萬化，但少不了對圖形的分析和研究，用幾何和代數的方法求出x的值。幾何型綜合題基本在第25題做為壓軸題出現，滿分14分，一般分三小題呈現。

2010年中考數學綜合題啟示我們在進行綜合思維的時候要做到：數形結合記心頭，大題小作來轉化，潛在條件不能忘，化動為靜多畫圖，方程函數是工具，計算推理要嚴謹，創新品質得提高。

2010年的綜合題沒有了進一步的探究題，沒有翹尾巴的難度，試題設計保留較多的解題途徑，使分析問題、解決問題的基本功和靈活性都得到較充分的考查，這樣既有利于提升整卷效度，又便于控制試題及整卷的難度，有利于提升對于課堂教學及復習的正面指導意義。它的意義很明確就是要指導初中數學教學不要把試題無限制加深、加難，而把教學的重點放在提高學生的數學素養上，這樣有利于推進中小學實施素質教育；有利于推進中小學課程改革；有利于促進初中教育教學改革；有利于切實減輕中學生過重的學業負擔；有利于培養學生的創新精神和實踐能力；有利于促進學生全面和諧、富有個性的發展；有利于學生在高中教育階段的可持續發展。

2011年中考數學綜合題解題思路分析